둘레가 20 m라면 가로와 세로의 합은 10. 가로를 $x$ 라 하면 세로는 $10 - x$. 면적 $S = x(10 - x) = -x^2 + 10x$ — 이차함수! 꼭짓점을 찾으면 면적의 최댓값을 구할 수 있다.
→ 꼭짓점 $(5, 25)$
→ 가로 $5$, 세로 $10-5 = 5$ → 정사각형일 때 면적 최대 25 m²
활용 1 — 운동과 자유낙하의 최고점
1자유낙하 모델 $h = -5t^2 + v_0 t + h_0$
Ⅲ-2.4 에서 다룬 자유낙하 식. 이번에는 "최고점"이 핵심. 식이 이차함수이므로 — 꼭짓점이 최고점.
예제 — $h = -5t^2 + 20t$ 의 최고점
활용 2 — 일정 둘레에서 면적 최대
1면적도 이차함수
가로 $x$, 세로 $y$ 인 직사각형의 둘레가 $L$ 로 정해져 있으면, $2x + 2y = L \Rightarrow y = \dfrac{L}{2} - x$.
면적 $S = xy = x\left(\dfrac{L}{2} - x\right) = -x^2 + \dfrac{L}{2}x$ — 이차함수.
예제 — 둘레 $24$ m 직사각형의 최대 면적
이때 세로도 $12-6=6$ → 한 변이 $6$ m 인 정사각형 ✓
활용 3 — 두 수의 합이 일정할 때 곱의 최대
1두 수의 합이 $s$ 로 일정할 때
한 수를 $x$ 라 하면 다른 수는 $s - x$. 두 수의 곱 $P = x(s - x) = -x^2 + sx$. 다시 이차함수.
예제 — 두 수의 합이 $14$ 일 때 곱의 최댓값
2두 수의 차이가 일정할 때 — 반대 방향
두 양수의 차가 정해졌을 때 곱은 ─ 두 수가 작을수록 곱이 작아진다. 이때는 보통 최솟값 문제로 나타나거나 추가 조건이 붙는다. 합과 곱의 관계는 비에트의 정리(Ⅲ-2.2)와도 연결된다.
면적 최대화 시뮬레이터
둘레 $L$ 을 입력하면 면적이 최대가 되는 가로·세로와 최대 면적을 계산한다.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
둘레 $24$ m 인 직사각형 모양의 정원의 최대 면적을 구하라.
- 변수 설정: 가로 $x$ m, 세로 $12 - x$ m ($0 < x < 12$)
- 면적 식: $S = x(12 - x) = -x^2 + 12x$
- 표준형 변환: $S = -(x - 6)^2 + 36$
- 꼭짓점 $(6, 36)$ → $x = 6$ 일 때 최대 면적
- 결과 → 가로 $6$ m, 세로 $6$ m, 최대 면적 $36$ m² (정사각형)
지면에서 $25$ m/s 로 위로 던진 공의 최고 높이를 구하라.
- 표준형 변환: $h = -5(t^2 - 5t)$
- $(5/2)^2 = 25/4$ → $h = -5\left(t^2 - 5t + \dfrac{25}{4}\right) + 5 \cdot \dfrac{25}{4} = -5\left(t - \dfrac{5}{2}\right)^2 + \dfrac{125}{4}$
- 꼭짓점 $\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{125}{4}\right)$
- $\dfrac{125}{4} = 31.25$ m → 최고 높이 $31.25$ m ($t = 2.5$ 초 후)
난이도별 연습 8문제
$h = -5t^2 + 10t$ 의 최고점 높이 (m)를 구하라.
두 수의 합이 $14$ 일 때 곱의 최댓값을 구하라.
$h = -5t^2 + 20t + 5$ 의 최고점 높이 (m)를 구하라.
둘레 $36$ m 인 직사각형의 최대 면적 (m²)을 구하라.
$h = -5t^2 + 30t$ 의 최고점 시간 (초)을 구하라.
두 수의 합이 $20$ 일 때 곱의 최댓값을 구하라.
가로 $x$ m, 세로 $(20 - 2x)$ m 인 직사각형 모양의 화단에서 면적이 최대일 때의 면적 (m²)을 구하라. [힌트: $S = x(20-2x)$]
$h = -5t^2 + 50t$ 의 최고점 높이 (m)를 구하라.
"가장 ~한" 질문은 곧 꼭짓점 찾기
면적의 최대, 자유낙하의 최고점, 두 수의 곱의 최대 — 현실의 모든 "가장"이라는 질문이 이차함수의 꼭짓점에서 결판난다. 그리고 둘레가 일정할 때 면적이 최대인 것은 정사각형, 합이 일정할 때 곱이 최대인 것은 두 수가 균등할 때 — 자연의 균형이 수학으로 드러난다.